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[선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 동형사상 ※ 본 포스팅의 도입부는 다소 엄밀하지 못하므로, 대수구조 및 동형에 대해 자세하게 공부하실 분은 'Fraleigh. A first course in abstract algebra' 또는 타 블로그 생새우초밥집을 참고하시길 바랍니다. 체스를 두자. 여러가지 선택지가 있을 수 있다. 상아로 된 말을 쑬 수도 있고, 나무로 된 말을 쓸 수도 있다. 아니면 운동장에 나가서 바닥에 줄을 긋고 친구들을 세워 체스를 할 수도 있다. 모두 다 다른 형식을 갖추었지만, 중요한건 체스의 룰은 그대로라는 것이다. 우리가 체스라고 부르는 것은 분명히 규칙 그 자체를 ..

[선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 10. 가역인 선형변환 함수의 역함수에 대해서는 ch0. 함수에서 살펴보았다. 선형변환의 역함수에 대해 공부하기 전에 먼저 보고 오길 추천한다. 선형변환에 대하여 역함수의 정의를 또 적어보자. 정의) 벡터공간

V, W

와 선형변환

T : V \to W

를 생각하자.

T U = I_{W}

U T = I_{V}

를 만족하는 함수

U : W \to V

가 존재하면 선형변환

T

는 가역(invertible)이라고 한다. 유일한 함수

U

는

T

의 역함수(inverse)라고 하며 $T^{-..

[선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch5. 행렬 연산 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 9. 좌측 곱 변환 원래 행렬은 그저 수를 직사각형으로 배열하는 것에 불과했다. 여기에 합과 스칼라 곱, 행렬 곱을 잘 정의하여 연산의 대상으로 볼 수 있게 되었다. 이번 절에서는 추가로 행렬을 함수처럼 사용하는 방법을 다룬다. 정의) 행렬

A \in M_{m \times n} (F)

를 생각하자. 다음과 같이 정의되는 함수

L_{A}

를 좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다.

L_{A} : F^{n} \to F^{m}, x \mapsto A x

이..

[선형변환부터 동형사상까지] ch5. 행렬 연산

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 8. 행렬 연산 행렬의 왼쪽에 열벡터를 곱하는 과정을 생각해보자. 우선, 행렬에 포함되는 열벡터의 갯수와 곱해지는 열벡터의 크기가 똑같아야 할 것이다. 대략

m \times n

행렬

A

와 열벡터

x \in F^{n}

을 곱한

A x

와 같은 것을 생각해볼 수 있다. 크기가 n인 열벡터는

n \times 1

행렬로 취급하므로 이 연산의 결과는 행렬 곱의 정의에 따라

m \times 1

행렬, 즉 크기가 m인 열벡터이다. 이번 절에서는 행렬과 열벡터를 곱하는 연산 속의 규칙을 ..

[선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch3. 선형변환의 행렬표현 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch5. 행렬 연산 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 6. 선형변환의 합성 함수의 합성에 대해서는 0.3. 합성함수를 보고 오는 것이 좋다. 두 함수

f, g

의 합성을 표기할 때

g \circ f

라고 쓰는 것이 일반적이다. 그러나 선형대수학에서는 표기에 일관성을 돋보이게 하기 위해, 두 선형변환

T, U

의 합성을

U T

라고 간단하게 표기한다. 다음 정리에 따르면, 선형변환의 합성은 여전히 선형이다. 정리 6-1)

F

-벡터공간

V, W, Z

와 선형변환

T : V \to W

U : W \to Z

를 생각하자. 두 선형..

[선형변환부터 동형사상까지] 부록

본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다.

L (V, W)

가 벡터공간임을 증명 ※ 정리 5.1-2로부터 옴. 정리)

F

-벡터공간

V, W

에 대하여

L (V, W)

는

F

-벡터공간이다. proof) 벡터공간이 갖추어야 하는 조건은 [벡터공간부터 기저까지] 1.1. 벡터공간의 정의 참고 (VS1) : 임의의 선형사상

T_{1}, T_{2} \in L (V, W)

를 생각하자. 임의의 벡터

x \in V

에 대하여 다음이 성립한다.

\begin{aligned} (T_{1} + T_{2}) (x) = & T_{1} (x) + T_{2} (x) \\ = & T_{2} (x) + T_{1} (x) \\ = & (T_{2} + T_{1}) (x) \end{aligned}

$$\therefore T_1..

[선형변환부터 동형사상까지] ch3. 선형변환의 행렬표현

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. ※ 본 포스팅은 수식이 많이 포함되어 있으므로 페이지 로딩 초기에 렉이 발생할 수 있습니다. 4. 좌표벡터 이번 시리즈의 초입에서 선형대수학의 수많은 대상을 행렬로 다룰 수 있다고 언급한 적이 있다. 이번 절에서는 선형변환을 행렬로 다루는 방법, 그리고 행렬을 선형변환으로 다루는 방법에 대해 알아볼 것이다. 이를 터득한다면, 행렬과 선형변환은 일대일 대응 관계에 있음을 알게된다. 정의) 유한차원 벡터공간

V

의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저..

[선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch3. 선형변환의 행렬표현 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 3. 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 이번 절에서 소개하는 정리는 원래 이름이 붙여지지 않은 정리이다. 그러나 필자 생각에 꽤 중요한 정리라고 생각되어 없던 이름을 짓고 별도로 소개한다. 중요한 정리를 다루기 이전에, 특별한 함수를 소개한다. 임의의 벡터

x \in V

를 생각하자.

V

의 기저

{v_{1}, \dots, v_{n}}

의 일차결합으로

x

를 표현하는 방법은 적절한 스칼라

a_{1}, \dots, a_{n} \in F

에 대하여 유일하게 존재한다. (참고: [벡터공간부터 기저까지]..

[선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch0. 함수 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 선형변환 선형변환의 정의는 추상적이지만, 그 덕분에 실제로 많은 것이 선형변환에 속하게 된다. 추상적인 공부를 할 때는, 지금 공부하는 것들이 나중에 반드시 구체화될 것이라는 믿음이 도움이 된다. 선형변환이 쓸모 있는 것 중 하나는, 행렬을 함수처럼 자연스럽게 쓸 수 있게 된다는 것이다. 행렬의 오른쪽에 열벡터를 곱하면 또다른 열벡터가 나오는걸 생각하면 어떤 느낌인지 알 것이다. 이러한 느낌을 잡아둔 채, 선형변환의 정의를 보자. 정의) 두

F

-벡터공간

V

와

W

를 생각하자..

[선형변환부터 동형사상까지] ch0. 함수

이전 읽을거리 : [벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 행렬(matrix)이란 선형대수학에서 절대 빠질 수 없는 주제이다. 동시에 선형대수학에선 행렬 말고도 수많은 대상들을 다루곤 한다. 가령 벡터라던가, 수열이던가, 다항식이라던가 등등.. 얼핏 보면, 선형대수학을 공부하며 행렬과 굳이 상관없는 것들도 배우게 되는 것이라 착각하기 쉽다. 놀라운 비밀은 선형대수학의 모든 것은 행렬과 깊고 직접적인 관계가 있다는 것이다. 이번 '선형변환부터 동형사상까지' 시리즈를 정독하면 선형대수학의 모든 대상이 어떻게 행렬처럼 다룰 수 있게 되는지 알게 될 것이다. 0. ..

[벡터공간부터 기저까지] ch3. 기저의 특성

이전 읽을거리 : 일차종속과 일차독립 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 7. 기저 정의) 벡터공간

V

의 부분집합

β

를 생각하자.

β

가 일차독립이고

V

를 생성하면

β

를

V

의 기저(basis)라고 한다. 기저의 가장 특별한 점은 가장 작은 생성집합이면서 가장 큰 일차독립인 집합이라는 것이며, 이에 대해선 아래에서 자세히 살펴볼 것이다. 벡터공간에는 기저가 하나만 존재할 수도 있고, 서로 다른 여러개의 기저가 존재할수도 있다. 7.1. 기저의 예시 예시 1) 점공간의 기저 점공간

{0}

의 생성집합은

\emptyset, {0}

두 개가 있다. 두 집합 중에서

\emptyset

[벡터공간부터 기저까지] 부록. 공집합의 생성공간

이전 읽을거리 : [수학/선형대수학] - 일차종속과 일차독립 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 1. Empty Sum 어떤 수열

(a_{i})

을 생각하자. 수열을 차례대로 m개의 항을 더한다는 것은 다음과 같다.

S_{m} := \sum_{i = 1}^{m} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}

위의 정의와 같이 수열을 처음부터 차례로 m개를 더한 부분합

S_{m}

을 정의할 수 있다. 부분합은 다음의 정리를 만족한다. 정리 1-1) 수열

(a_{i})

의 부분합

S_{j}

를 생각하자. 자연수

n

에 대하여 다음이 성립한다.

S_{n + 1} = S_{n} + a_{n + 1}

proof) 위 정리를 풀어서 쓰면 다음과 같다. $$\begin{align}S_{n+1}=&a..

[벡터공간부터 기저까지] ch2. 일차종속과 일차독립

이전 읽을거리 : 벡터공간과 부분공간 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 3. 일차결합 정의) 벡터공간

V

의 공집합이 아닌 부분집합

S

를 생각하자.

S

에 속하는 벡터 중 유한개의 벡터

u_{1}, \dots, u_{n}

와 임의의 스칼라

a_{1}, \dots, a_{n}

에 대하여 다음과 같은 벡터

v

를

S

의 일차결합(Linear Combination)이라 한다.

v = a_{1} u_{1} + \dots + a_{n} u_{n}

이때,

v

는 벡터

u_{1}, \dots, u_{n}

의 일차결합이고

a_{1}, \dots, a_{n}

은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다. 일차결합의 정의를 이해할 때, 벡터 여러개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것도 일차결..

[벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간

본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 흔히 벡터라고 하면 실수가 2~3개 모인 순서쌍을 떠올리곤 한다. 고등학교 수학에서 배우는 바로 그것 말이다. 이러한 실수의 순서쌍을 가지고 우리는 많은 연산을 하고 수많은 의미를 도출하였다. 그러나 벡터가 단지 숫자의 순서쌍을 벗어나 꽤나 다양한 것을 지칭할 수 있다면, 그리고 벡터라고 부르기로 한 다른 대상에서도 순서쌍으로써 도출한 의미를 적용할 수 있다면 상당히 놀라운 일일 것이다. 그리고 실제로 벡터는 실수의 순서쌍만을 지칭하지는 않는다. 들어가기에 앞서 '집합'과 '~공간'을 혼동하는 일이 없도록 하자. 단순히 여러 요소가 모이면 얼마든지 집합이라고 부를 수 있지만, 집합이 특별한 몇 가지 성질을 만족할때만 어떠한 공간이라고..

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 부록. '보조정리 1'의 증명

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.2 에서 이어짐. 보조정리 1) 좌표평면의 영역

[a, b] \times [g (x), h (x)]

에서 정의된 미분가능한 함수

f

에 대하여 다음이 성립한다.

\begin{aligned} \int_{a}^{b} \int_{g (x)}^{h (x)} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) d y d x = & \int_{g (b)}^{h (b)} f (b, y) d y - \int_{g (a)}^{h (a)} f (a, y) d y \\ - \int_{a}^{b} {f (x, h (x)) h^{'} (x) - f (x, g (x)) g^{'} (x)} d x \end{aligned}

proof) 다음을 계산하자. $$\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}..

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[선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상

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